TEST NA LICZBĘ PIERWSZĄ

Aby sprawdzić dowolną liczbę naturalną „x” na to czy jest liczbą pierwszą użyjemy odwrotności wzrów 3n+1 oraz 3n+5, czyli otrzymamy wzory jak poniżej:


dla wzoru 3n+1 :

(x-1):3

oraz

dla wzoru 3n+5 :

(x-5):3

Jak łatwo ustalić tylko liczby zakończone cyfrą 1, 3, 7 oraz 9 mogą być liczbami pierwszymi, więc tylko takie liczby jest sens wstawiać do wzoru jako liczbe "x" ze względu na zredukowanie zbędnych obliczeń.

Jeżeli którykolwiek wynik nie będzie liczbą naturalną to liczba ta nie może być liczbą pierwszą


Przykład nr.1

x = 549


(x-1):3

(549-1):3 = 182,666667


(x-5):3

(549-5):3 = 181,333333

Liczba 549 nie jest liczbą pierwszą gdyż wynik ze wzoru pierwszego i drugiego nie jest liczbą naturalną więc i nie znajduje się w żadnym z dwóch zbiorów z liczbami otrzymanych ze wzorów 3n+1 oraz 3n+5.



Przykład nr.2

x = 553


(x-1):3

(553-1):3 = 184

(x-5):3

(553-5):3 = 182,666667

Liczba 553 osiągnęła wynik w postaci liczby naturalnej ze wzoru (x-1):3 czyli analogicznie wiemy już że w celu sprawdzenia czy jest liczbą pierwszą musimy dzielić ją tylko przez liczby powstałe ze wzoru 3n+1. Jednakże jeśli sprawdzana liczba osiągnie wynik w postaci liczby naturalnej ze wzoru (x-5):3 to możemy dzielić ją wtedy także przez liczby ze zbioru 3n+1. Omawiana liczba 553 może być albo tzw. liczbą „przypierwszą” (czyli jest iloczynem liczb pierwszych) albo liczbą pierwszą. Aby sprawdzić czy jest liczbą pierwszą możemy w celu zredukowania ilości operacji dzielić ją tylko przez liczby ze zbioru 3n+1 chociaż można też dzielić ją przez liczby ze zbioru 3n+5 lub przez wszystkie liczby pierwsze.

Należy jednak pamiętać że operacje sprawdzania czy liczba jest liczbą pierwszą musimy zacząć od ustalenia czy pierwiastek sprawdzanej liczby nie jest liczbą naturalną, jeśli jest, liczba nie jest liczbą pierwszą. W przeciwnym wypadku sprawdzaną liczbe dzielimy do momentu aż nasz dzielnik nie przekroczy wartości pierwiastka sprawdzanej liczby.

Jeśli posiadamy zbióe liczb ze wzoru 3n+1 to dzielimy ją tylko przez te liczby (czyli liczby pierwsze i "przypierwsze") zaczynając od najmniejszej liczby w zbiorze aż do wartości która nie przekracza pierwiastka sprawdzanej liczby.

Jeśli zaś nie posiadamy takiego zbioru to dzielimy naszą sprawdzaną liczbę przez wszystkie liczby pierwsze zaczynając od liczby 7 aż do wartości liczby która nie przekracza pierwiastka sprawdzanej liczby. Jeśli do tego momentu nie osiągniemy wyniku w postaci liczby naturalnej kończymy sprawdzanie i z całą pewnością stwierdzamy że nasza liczba jest liczbą pierwszą. Jeśli zaś otrzymamy wynik w postaci liczby naturalnej jest to liczba "przypierwsza".

Przykład 1:

553 jest liczbą z naszego ciągu gdyż

3n+1 n=184

3*184+1=553

√553 ≈ 23

a więc naszą liczbę dzielimy przez liczby z naszego zbioru 3n+1 czyli zaczynając od liczby 7 a kończąc na liczbie 23 gdyż to największa liczba pierwsza z naszego ciągu która nie przekracza wartości 23, jeśli nie otrzymamy wyniku w postaci liczby naturalnej liczba ta jest liczbą pierwszą, ta oczywiście nie jest gdyż:

553:7=79


Przykład 2:

5881 jest liczbą z naszego ciągu gdyż:

3n+1 n=1960

3*1960+1=5881

√5881 ≈ 76

a więc naszą liczbę dzielimy przez liczby z naszego zbioru 3n+1 czyli zaczynając od liczby 7 a kończąc na liczbie 73 gdyż to największa liczba (pierwsza) z naszego ciągu która nie przekracza wartości 76, jeśli nie otrzymamy wyniku w postaci liczby naturalnej, liczba ta jest liczbą pierwszą i rzeczywiście nie otrzymaliśmy liczby naturalnej i z całą pewnością nasza liczba jest liczbą pierwszą.

Jak można łatwo zauważyć operacja sprawdzania czy wybrana liczba jest liczbą pierwszą jest znacznie uproszczona i szybsza niż obecnie stosowane gdyż w momencie kiedy mamy zbiór liczb ze wzoru 3n+1 którego największa liczba musi mieć wartość pierwiastka sprawdzanej liczby, liczbę tę wtedy dzielimy tylko przez co najwyżej 1,9% wszystkich liczb naturalnych które mogą być jej dzielnikiem.